Fikrul

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras


Latar Belakang Masalah

Urutan  bilangan  tripel  Phytagoras  sangat  menarik  untuk  diperhatikan.  Untuk mendapatkan  bilangan  tripel  Phytagoras  tidaklah  terlalu  sukar,  karena  secara baku  dalam  buku-buku  ajar  Matematika  tingkat  SLTP  diberikan  rumusnya. Namun ternyata rumusan itu tidak dapat difahami secara sederhana bagi sebagian besar siswa. Sehingga banyak siswa yang merasa bingung. Terutama dalam proses menghitung   bilangan-bilangan untuk mendapatkan bilangan tripel Phytagoras dari dua bilangan asli yang secara bebas ditentukan.

Bertitik  tolak     dari  kondisi  tersebut  mendorong  penulis  untuk  melakukan modifikasi terhadap rumusan tripel Phytagoras melalui analisis matematis. Sehingga    diharapkan         akan    didapat    bentuk    sederhana    yang    dapat dipertanggungjawabkan secara keilmuan.

Menyederhanakan Rumus Tripel Phytagoras

Tripel Phytagoras ( pada umumnya ) adalah susunan tiga buah bilangan asli yang memenuhi aturan Phytagoras. Jika bilangan-bilangan tersebut dinyatakan sebagai a, b dan c dengan a dan b adalah sisi-sisi siku-siku dan c adalah sisi miring ( hipotenusa ), maka akan berlaku :

c2 = a2 + b2                                                                                                                                                                                       …………… ( 1 )

dimana:
                             
a = 2mn                                                                                                                        …………... ( 2

b = m2 n2                                                                                                                                                                                                     .………….. ( 3

c = m2 + n                                                                                                                                                                                                     …….…….. ( 4    

m, n adalah bilangan-bilangan asli sembarang dan berbeda.

Terlihat bahwa untuk mendapatkan bilangan tripel Phytagoras terlebih dulu harus menentukan dua bilangan. Itu hal yang mudah, tapi tidak sederhana! Untuk membuat   rumus diatas menjadi lebih sederhana   maka diambil asumsi-asumsi sebagai berikut:

a < b < c                                                                                                                             …………… ( 5 )

Sehingga urutan bilangan tersebut dari yang terkecil adalah : a,   b,   c.   Dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan  ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) ke pertidaksamaan ( 5 ), maka didapat bentuk:

2mn < m2 n2 < m2 + n2                                                                                                                                                .....………... ( 6 )

Tanpa perlu pembuktian, sudah jelas bahwa:  :  m2 n2 < m2 + n2
Akan dibuktikan bahwa:

2mn m2 + n2

dimana m ≠ n, atau:

m2 + n2 > 2mn
m2 + n2 – 2mn  >  0
( m – n )2 >  0   kuadrat suatu bilangan selalu positif.      ( Terbukti ) 

Sekarang akan dibuktikan dengan  syarat tertentu bahwa:


 m2 n2 > 2mn                                                                                                          …………… ( 7 )
( m2 n2 ) – 2mn > 0                                                                                                   …………… ( 8 )

Jika diambil:

β = ( m2 n2 ) – 2mn                                                                                                   …………… ( 9 )

Dengan membandingkan   pertidaksamaan ( 8 ) dengan persamaan ( 9 ), maka terlihat bahwa β adalah bilangan positif. Sekarang ambil:

( m + n )2 = m2 + n2 + 2mn                                                                                        …………... ( 10 )

Tambahkan  m2 n2  pada kedua ruas dari persamaan ( 10 ), sehingga didapat:

m2 n2 + ( m + n )2 = m2 n2 + m2 + n2 + 2mn
m2 n2 + ( m + n )2 = 2 m2  + 2mn
( m2 n2 ) – 2mn    = 2 m2 - ( m + n )2                                                                                                          ……………. ( 11 )

Terlihat bahwa bagian sebelah kiri dari persamaan ( 11 ) adalah menyatakan β. Sehingga persamaan ( 9 ) dapat berbentuk:

β = 2 m2 - ( m + n )2                                                                                                                                                      …………… ( 12 )

β = ( m√2  +  m +  n )( m√2   m   n )                                                                 …………… ( 13 )

Pada persamaan ( 13 ) karena  m dan n adalah bilangan asli yang berbeda maka besaran: ( m√2  +  m  +  n ) berharga positif, sehingga agar β bernilai positif, maka harus dipenuhi kondisi:

( m√2  –  m –  n ) > 0 
( √2  –  1 )m –  n   > 0

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras
Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras


                                                                                               
                                                                                                 
                                                                                                     …………… ( 14 )

Pertidaksamaan ( 14 ) adalah  syarat agar pertidaksamaan ( 5 ) terpenuhi.

Rumusan yang Sederhana itu

karena adalah bilangan rasional positif, sedangkan bilangan tripel phytagoras (pada umumnya ) adalah bilangan asli maka disini akan dibatasi bahwa    adalah bilangan  bulat positif,  lebih  tepatnya bilangan asli.  Sehingga persamaan (  14 ) dapat dinyatakan sebagai:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras
                                                          …………… ( 15 )


Sebagaimana diketahui   bahwa bilangan pertama suatu urutan tripel Phytagoras dapat berupa bilangan genap maupun bilangan ganjil. Sehingga untuk mendapatkan rumus urutan tripel Phytagoraspun diperlukan dua analisis, yaitu analisis  dalam  menentukan  urutan tripel Phytagoras  dengan  bilangan  pertama tripel adalah bilangan genap dan bilangan pertama tripel adalah bilangan ganjil.

1. Menentukan Urutan Tripel Phytagoras dengan Bilangan Pertama Tripel adalah Bilangan Genap

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku pada persamaan-persamaan ( 2 ), ( 3 ) dan ( 4 ) dinyatakan dalam bentuk perbandingan antar sisi-sisi, maka didapat bentuk

a : b : c = 2mn : m2 n2 : m2 + n2                                                                                          …………… ( 16 )

Jika  ruas  sebelah  kanan  dari  persamaan  (  16  )  dibagi  dengan  n2,  maka  akan
diperoleh bentuk:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras

                                                      …………… ( 17 )


Berdasarkan persamaan ( 15 ) bahwa    adalah bilangan asli, maka    dapat dinyatakan sebagai bilangan asli k. Sehingga persamaan ( 17 ) dapat ditulis:


a : b : c = 2k : k2 – 1 : k2 + 1                                                                                   ……………. ( 18 )

Dari persamaan ( 18 ) terlihat bahwa:

a = 2k ; k adalah bilangan asli                                                                                  …………….. ( 19 )

Sehingga a adalah adalah bilangan genap ( G ), maka persamaan ( 19 ) dapat ditulis:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras
                                                                                                                ……………. ( 20 )




Jika  nilai  pada  persamaan  (  20  )  disubstitusikan  pada  persamaan  18,  maka didapat bentuk:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras

                                                                …………… ( 21 )



Persamaan ( 21 ) menyatakan bilangan dasar dari tripel Phytagoras, sehingga nilai-nilai dari a, b dan c adalah sebagai berikut:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras
                                                                                                   …………… ( 22 )                                                            
                                                                                                    …………… ( 23 )


                                                                                                    …………… ( 24 )


Dari persamaan-persamaan ( 23 ) dan ( 24 ) didapat dua hubungan yang penting, yaitu:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras
                                               …………… ( 25 )


                                               …………… ( 26 )









2. Menentukan Urutan Tripel Phytagoras dengan Bilangan Pertama Tripel adalah Bilangan  Ganjil

Dengan membagi ruas kanan persamaan ( 16 ) dengan 2n2  maka akan diperoleh bentuk sebagai berikut:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras

                                              ……………. ( 27 )


Berdasarkan persamaan ( 15 )  adalah bilangan ganjil, maka   adalah bilangan asli. Jika diinginkan bahwa   harus dinyatakan dalam bentuk

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras
                                     
                                                           ……………. ( 28 )


Dengan mensubstitusikan persamaan ( 28 ) ke persamaan ( 27 ), maka didapat
bentuk:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras
                                               ……………. ( 29 )



karena 2k + 1 menyatakan bilangan ganjil untuk setiap k bilangan asli, maka:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras

'
                                                                                                           ………….. ( 30 )




Dengan  mensubstitusikan  persamaan  (  30  )  ke  persamaan    (  29  ),  maka  akan didapat bentuk sebagai berikut:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras

                                                                             …………. ( 31 )


Persamaan ( 31 ) menyatakan bilangan dasar dari tripel Phytagoras, sehingga nilai-nilai dari a, b dan c adalah sebagai berikut:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras
                                                                                                          …………. ( 32 )

                                                                                                          …………. ( 33 )
                                                                                                          …………. ( 34 )




Dari persamaan-persamaan ( 33 ) dan ( 34 ) didapat dua hubungan yang penting, yaitu:

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras

Contoh Penggunaan Tripel Phytagoras

Cara Sederhana Mendapatkan Bilangan Triple Phytagoras



Kesimpulan


Dengan  menetukan sembarang  bilangan asli sebagai bilangan pertama bagi tripel

Phytagoras, maka bilangan kedua dan ketiganya bisa didapat dengan mudah.
Fikrul

About Fikrul -

Sekedar Blog yang sederhana, dan hanya ingin berbagi. Karena Sebaik-baik manusia adalah orang yang bermanfaat bagi orang lain

Subscribe for our all latest news and updates right in your inbox :

Berkomentar u/ kritik & saran yg baik, demi kemajuan bersama,,